Energija harmonijskog oscilatora

Energetske promjene u harmonijskom oscilatoru objašnjavaju kako se snaga opruge prenosi na tijelo, pa razumijevanje te razmjene pomaže u dizajnu satova, senzora i građevinskih konstrukcija.

Kada tijelo mase $m$ osciluje vezano za oprugu konstante $k$, ukupna mehanička energija ostaje stalna:

$$E = \frac{1}{2} k A^2,$$

gdje je $A$ amplituda, najveći pomak od ravnoteže. Kinetička energija u trenutku kada je brzina $v$ jednaka je

$$E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k \qty(A^2 - x^2),$$

dok je potencijalna energija opruge

$$E_p = \frac{1}{2} k x^2.$$

Raspodjela energije zavisi od položaja mase u odnosu na ravnotežu.

Primjer (radni)

1. Tijelo mase $0{,}20\,\text{kg}$ osciluje na opruzi konstante $50\,\text{N/m}$ sa amplitudom $A = 0{,}10\,\text{m}$. Izračunaj ukupnu energiju.
2. Odredi kinetičku energiju kada je pomak $x = 0{,}06\,\text{m}$.

Rješenje.

1. Ukupna energija je $E = \tfrac{1}{2}kA^2 = 0{,}5 \cdot 50 \cdot 0{,}10^2 = 0{,}25\,\text{J}$.
2. Potencijalna energija tada je $E_p = \tfrac{1}{2}k x^2 = 0{,}5 \cdot 50 \cdot 0{,}06^2 = 0{,}09\,\text{J}$. Kinetička energija postaje $E_k = E - E_p = 0{,}25 - 0{,}09 = 0{,}16\,\text{J}$.

Odgovor: $E = 0{,}25\,\text{J}$ i $E_k = 0{,}16\,\text{J}$.

Brza provjera

• Mogu objasniti zašto je $E$ konstanta pri idealnoj opruzi.
• Znam kada je $E_k$ maksimalna, a kada $E_p$.
• Umijem nacrtati graf $E_k(x)$ i $E_p(x)$.
• Mogu uočiti utjecaj promjene amplitude na energiju.

Dalje / Next

• Pogledaj video o očuvanju energije u mikroskopskim oscilatorima.
• Izračunaj energiju za realnu oprugu s prigušenjem.
• Pripremi se za problem zadatke o rezonanciji.

Povezani sadržaji

Probaj ove zadatke

• Energija mase na opruzi — Izračun kinetičke i potencijalne energije za oprugu koja titra iznad stola.

Povezana otkrića

• Hookeov zakon elastičnosti — Otkrivena proporcionalnost između sile i istezanja postavila je temelje analizi opruga i oscilatora.