Relativno kretanje – Zadaci 2.26–2.28

Zadatak 2.26

Tekst zadatka

Dva automobila se kreću po pravcu stalnom brzinom u odnosu na Zemlju, $v_1 = 54\,\mathrm{km/h}$ i $v_2 = 36\,\mathrm{km/h}$ .

a) Kolika je brzina prvog automobila u odnosu na drugi ako se kreću u istom pravcu i smjeru?
b) Kolika je relativna brzina automobila ako se kreću u susret jedan drugom?
c) Koliko dugo će prvi automobil preticati drugi ako su dužine automobila jednake i iznose $l = 3\,\mathrm{m}$ ?
d) Koliko dugo će se mimoilaziti ako se kreću u susret jedan drugom?

Rješenje

Poznate veličine (Knowns)

$v_1 = 54\,\mathrm{km/h}$ — brzina prvog automobila u odnosu na Zemlju.
$v_2 = 36\,\mathrm{km/h}$ — brzina drugog automobila u odnosu na Zemlju.
$l = 3\,\mathrm{m}$ — dužina svakog automobila.

Pretvaranje u SI jedinice

$v_1 = 54\,\mathrm{km/h} = 54 \cdot \frac{1000\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}} = 15\,\mathrm{m/s}$ .
$v_2 = 36\,\mathrm{km/h} = 36 \cdot \frac{1000\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}} = 10\,\mathrm{m/s}$ .
$l = 3\,\mathrm{m}$ .

Nepoznate veličine (Unknowns)

$v_{\text{rel,a}}$ — relativna brzina prvog automobila u odnosu na drugi kada se kreću u istom smjeru.
$v_{\text{rel,b}}$ — relativna brzina kada se kreću u susret jedan drugom.
$t_{\text{preticanje}}$ — vrijeme preticanja.
$t_{\text{mimoilaženje}}$ — vrijeme mimoilaženja pri susretu.

Koraci rješenja

Fizikalno postavljanje problema
Kada se objekti kreću u istom pravcu, relativna brzina je razlika njihovih brzina. Kada se kreću u suprotnim smjerovima, relativna brzina je zbroj njihovih brzina. Vrijeme potrebno za preticanje ili mimoilaženje dobija se iz izraza $t = \tfrac{s}{v_{\text{rel}}}$ , pri čemu je potreban relativni put jednaka suma dužina automobila $2l$ .
Algebarske manipulacije
$v_{\text{rel,a}} = v_1 - v_2$ , $v_{\text{rel,b}} = v_1 + v_2$ , $t_{\text{preticanje}} = \tfrac{2l}{v_{\text{rel,a}}}$ , $t_{\text{mimoilaženje}} = \tfrac{2l}{v_{\text{rel,b}}}$ .
Uvrštavanje numeričkih vrijednosti
$v_{\text{rel,a}} = 5\,\mathrm{m/s}$ , $v_{\text{rel,b}} = 25\,\mathrm{m/s}$ , $t_{\text{preticanje}} = 1.2\,\mathrm{s}$ , $t_{\text{mimoilaženje}} = 0.24\,\mathrm{s}$ .
Provjera dimenzija
Put u metrima podijeljen brzinom u metrima po sekundi daje vrijeme u sekundama; jedinice su konzistentne.

Odgovor

\begin{aligned} \text{a)}\quad v_{\text{rel,a}} &= 5\,\mathrm{m/s} = 18\,\mathrm{km/h},\\ \text{b)}\quad v_{\text{rel,b}} &= 25\,\mathrm{m/s} = 90\,\mathrm{km/h},\\ \text{c)}\quad t_{\text{preticanje}} &= 1.2\,\mathrm{s},\\ \text{d)}\quad t_{\text{mimoilaženje}} &= 0.24\,\mathrm{s}. \end{aligned}

Konačan odgovor: relativна brzina bržeg automobila u odnosu na sporiji pri kretanju istim smjerom iznosi $5\,\mathrm{m/s}$ , pri susretu je $25\,\mathrm{m/s}$ , preticanje traje približno $1.2\,\mathrm{s}$ , a mimoilaženje oko $0.24\,\mathrm{s}$ .

Zadatak 2.27

Tekst zadatka

Koliko dugo će se mimoilaziti dva voza dugačka $100\,\mathrm{m}$ i $160\,\mathrm{m}$ , ako se kreću u susret jedan drugom brzinama $20\,\mathrm{m/s}$ i $45\,\mathrm{km/h}$ ?

Rješenje

Poznate veličine (Knowns)

$l_1 = 100\,\mathrm{m}$ — dužina prvog voza.
$l_2 = 160\,\mathrm{m}$ — dužina drugog voza.
$v_1 = 20\,\mathrm{m/s}$ — brzina prvog voza.
$v_2 = 45\,\mathrm{km/h}$ — brzina drugog voza.

Pretvaranje u SI jedinice

$v_2 = 45\,\mathrm{km/h} = 12.5\,\mathrm{m/s}$ .

Nepoznate veličine (Unknowns)

$t$ — vrijeme potrebno da se vozovi potpuno mimoilaze (od susreta prednjih krajeva do prolaska zadnjih krajeva).

Koraci rješenja

Fizikalno postavljanje problema
Relativна brzina pri kretanju u susret jednaka je zbroju brzina, $v_{\text{rel}} = v_1 + v_2$ . Potreban relativni put jednak je sumi dužina, $s = l_1 + l_2$ .
Algebarske manipulacije
Vrijeme mimoilaženja je $t = \tfrac{l_1 + l_2}{v_1 + v_2}$ .
Uvrštavanje numeričkih vrijednosti
$l_1 + l_2 = 260\,\mathrm{m}$ , $v_{\text{rel}} = 32.5\,\mathrm{m/s}$ , pa je $t = 8.0\,\mathrm{s}$ .
Provjera dimenzija
$\mathrm{m} / (\mathrm{m/s}) = \mathrm{s}$ ; jedinice su pravilne.

Odgovor

t = 8.0\,\mathrm{s}.

Konačan odgovor: vozovi dužina $100\,\mathrm{m}$ i $160\,\mathrm{m}$ koji se kreću brzinama $20\,\mathrm{m/s}$ и $45\,\mathrm{km/h}$ mimoilaze se za približno osam sekundi.

Zadatak 2.28

Tekst zadatka

Jedan dječak se kreće brzinom $v_1 = 1\,\mathrm{m/s}$ a iza njega u istom smjeru drugi dječak brzinom $v_2 = 9\,\mathrm{km/h}$ . Početno rastojanje između njih je $d = 100\,\mathrm{m}$ . Poslije koliko vremena će drugi dječak stići prvog?

Rješenje

Poznate veličine (Knowns)

$v_1 = 1\,\mathrm{m/s}$ — brzina prvog dječaka.
$v_2 = 9\,\mathrm{km/h}$ — brzina drugog dječaka.
$d = 100\,\mathrm{m}$ — početno rastojanje između dječaka.

Pretvaranje u SI jedinice

$v_2 = 9\,\mathrm{km/h} = 2.5\,\mathrm{m/s}$ .

Nepoznate veličine (Unknowns)

$t$ — vrijeme nakon kojeg će brži dječak sustići sporijeg.

Koraci rješenja

Fizikalno postavljanje problema
Relativна brzina sustizanja jednaka je $v_{\text{rel}} = v_2 - v_1$ . Drugi dječak mora prijeći početnu udaljenost $d$ .
Algebarske manipulacije
Vrijeme sustizanja je $t = \tfrac{d}{v_2 - v_1}$ .
Uvrštavanje numeričkih vrijednosti
$v_{\text{rel}} = 1.5\,\mathrm{m/s}$ pa je $t = \tfrac{100\,\mathrm{m}}{1.5\,\mathrm{m/s}} \approx 66.7\,\mathrm{s}$ .
Provjera dimenzija
Omjer metara i metara po sekundi daje sekunde; jedinice su konzistentne.

Odgovor

t \approx 6.7 \times 10^{1}\,\mathrm{s} \approx 1.1\,\mathrm{min}.

Konačan odgovor: brži dječak sustiže sporijeg nakon otprilike $67\,\mathrm{s}$ , odnosno za malo više od jedne minute.

Literatura

N.N., Zbirka zadataka iz fizike, -, , Zadaci 2.26–2.28 ( - ).