Testing problems

Zadatak 2.1

Svjetski rekordi u sprintu i srednjoj pruzi: trka na 100 m traje 9,83 s, a trka na 1500 m 3 min 12 s. Odredi prosječnu brzinu trkača za svaku trku.

Rješenje

Poznate veličine (Knowns)

• $s_1 = 100\,\mathrm{m}$ — dužina sprinterske trke na 100 m.
• $t_1 = 9.83\,\mathrm{s}$ — vrijeme svjetskog rekorda na 100 m.
• $s_2 = 1500\,\mathrm{m}$ — dužina trke na 1500 m.
• $t_2 = 3\,\mathrm{min}\;12\,\mathrm{s}$ — vrijeme svjetskog rekorda na 1500 m.

Pretvaranje u SI jedinice (za računanje)

• $s_1 = 100\,\mathrm{m}$ već je u SI jedinicama.
• $t_1 = 9.83\,\mathrm{s}$ već je u SI jedinicama.
• $s_2 = 1500\,\mathrm{m}$ već je u SI jedinicama.
• $t_2 = 3\,\mathrm{min}\,12\,\mathrm{s} = 3\cdot 60\,\mathrm{s} + 12\,\mathrm{s} = 192\,\mathrm{s}$.

Nepoznate veličine

• Traži se: $v_1$ — srednja brzina trkača na 100 m.
• $v_2$ — srednja brzina trkača na 1500 m.

Koraci rješenja

1. Fizikalno postavljanje problema

   • Ključni princip: ravnomjerno pravolinijsko kretanje; prosječna brzina definirana je kao pređeni put podijeljen vremenom: $v = \frac{s}{t}$.
   • Jednačina(e): [ v_1 = \frac{s_1}{t_1},\qquad v_2 = \frac{s_2}{t_2}. ] (Obrazloženje: za konstantnu brzinu ili prosječnu brzinu u toku trke razmjerno vrijedi odnos put/vrijeme.)

2. Algebarske manipulacije

   • Izvedi izraze za srednje brzine: [ v_1 = \frac{s_1}{t_1},\qquad v_2 = \frac{s_2}{t_2}. ]

3. Uvrštavanje numeričkih vrijednosti (koristi SI iz sekcije iznad)

   • Za 100 m: [ v_1 = \frac{100,\mathrm{m}}{9.83,\mathrm{s}} \approx 10.17,\mathrm{m/s}. ]
   • Za 1500 m: [ v_2 = \frac{1500,\mathrm{m}}{192,\mathrm{s}} = 7.81,\mathrm{m/s}. ]
   • Konverzija u kilometre na sat: [ v_{1,\mathrm{km/h}} = v_1 \cdot 3.6 \approx 36.6,\mathrm{km/h},\quad v_{2,\mathrm{km/h}} = v_2 \cdot 3.6 \approx 28.1,\mathrm{km/h}. ]

4. Provjera dimenzija (jedinica)

   • U jednadžbama se dijeli put (u metrima) s vremenom (u sekundama), pa je rezultat u $\mathrm{m/s}$. Množenjem $\mathrm{m/s}$ s $3{,}6$ dobija se $\mathrm{km/h}$; jedinice su konzistentne.

Odgovor

$ v_1 = \frac{s_1}{t_1} \approx 10.17\,\mathrm{m/s},\qquad v_2 = \frac{s_2}{t_2} = 7.81\,\mathrm{m/s} $ **Konačan odgovor (sa jedinicama i odgovarajućim značajnim ciframa):** Srednja brzina trkača na 100 m iznosi približno $10.2\,\mathrm{m/s}$ odnosno $36.6\,\mathrm{km/h}$, a na 1500 m oko $7.81\,\mathrm{m/s}$ odnosno $28.1\,\mathrm{km/h}$.

Literatura

Ahmed Čolić i Bego Mehurić, Odabrani zadaci iz fizike za 1. razred gimnazije, 2000., Behram‑begova medresa, Zadatak 2.1.

Zadatak 2.2

Usporedi brzine automobila i bicikliste: automobil se kreće 50 km/h, a biciklista 13 m/s; odredi koje vozilo ima veću brzinu.

Rješenje

Poznate veličine (Knowns)

• $v_{\text{auto}} = 50\,\mathrm{km/h}$ — brzina automobila.
• $v_{\text{bicikl}} = 13\,\mathrm{m/s}$ — brzina bicikliste.

Pretvaranje u SI jedinice (za računanje)

• $v_{\text{auto}} = 50\,\mathrm{km/h} = 50\cdot\frac{1000\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}} = 13.89\,\mathrm{m/s}.$
• $v_{\text{bicikl}} = 13\,\mathrm{m/s} = 13 \cdot 3.6\,\mathrm{km/h} = 46.8\,\mathrm{km/h}.$

Nepoznate veličine (Unknowns)

• Traži se: $v_{\text{auto}}$ u $\mathrm{m/s}$ i $\mathrm{km/h}$ te $v_{\text{bicikl}}$ u istim jedinicama, radi poređenja.
• Odrediti koje vozilo ima veću brzinu.

Koraci rješenja

1. Fizikalno postavljanje problema

   • Srednja brzina već je zadana; potrebno je pretvoriti obje brzine u iste jedinice radi usporedbe. Za pretvaranje koristimo koeficijent $1\,\mathrm{km/h} = 0.2778\,\mathrm{m/s}$ odnosno $1\,\mathrm{m/s} = 3.6\,\mathrm{km/h}$.

2. Algebarske manipulacije

   • Pretvaramo brzinu automobila u $\mathrm{m/s}$ i brzinu bicikliste u $\mathrm{km/h}$ koristeći odgovarajuće koeficijente.

3. Uvrštavanje numeričkih vrijednosti (koristi SI iz sekcije iznad)

   • Automobil: [ v_{\text{auto}} = 50,\mathrm{km/h} = 50\cdot\frac{1000}{3600},\mathrm{m/s} \approx 13.89,\mathrm{m/s}. ]
   • Biciklista: [ v_{\text{bicikl}} = 13,\mathrm{m/s} = 13\cdot 3.6,\mathrm{km/h} = 46.8,\mathrm{km/h}. ]
   • Poređenje: $13.89\,\mathrm{m/s} > 13\,\mathrm{m/s}$ ili ekvivalentno $50\,\mathrm{km/h} > 46.8\,\mathrm{km/h}$; automobil je brži.

4. Provjera dimenzija (jedinica)

   • Pretvaranja su izvedena dosljedno: $\mathrm{km/h}$ u $\mathrm{m/s}$ i obrnuto koristeći odnos $1\,\mathrm{m/s} = 3.6\,\mathrm{km/h}$; dimenzije su konzistentne.

Odgovor

$ v_{\text{auto}} \approx 13.89\,\mathrm{m/s},\qquad v_{\text{bicikl}} = 13.00\,\mathrm{m/s} $ **Konačan odgovor (sa jedinicama i odgovarajućim značajnim ciframa):** Automobil se kreće brže; njegova brzina je oko $13{,}9\,\mathrm{m/s}$ odnosno $50\,\mathrm{km/h}$, dok biciklista vozi približno $13\,\mathrm{m/s}$ odnosno $46{,}8\,\mathrm{km/h}$.

Literatura

Ahmed Čolić i Bego Mehurić, Zadaci i ogledi za 1. razred tehničkih i srodnih škola, 2000., Behram‑begova medresa, Zadatak 2.2.

Zadatak 2.3

Autobus prelazi relaciju Tuzla–Sarajevo dugu 130 km za 2 h 45 min; potrebno je izračunati njegovu srednju brzinu u $\mathrm{km/h}$ i $\mathrm{m/s}$.

Rješenje

Poznate veličine (Knowns)

• $s = 130\,\mathrm{km}$ — pređeni put autobusa.
• $t = 2\,\mathrm{h}\;45\,\mathrm{min}$ — vrijeme putovanja.

Pretvaranje u SI jedinice (za računanje)

• $s = 130\,\mathrm{km} = 130 \times 1000\,\mathrm{m} = 1.30\times 10^5\,\mathrm{m}.$
• $t = 2\,\mathrm{h}\;45\,\mathrm{min} = 2 \cdot 3600\,\mathrm{s} + 45 \cdot 60\,\mathrm{s} = 9900\,\mathrm{s}.$

Nepoznate veličine (Unknowns)

• Traži se: $v$ — srednja brzina autobusa.

Koraci rješenja

1. Fizikalno postavljanje problema

   • Koristi se formula za srednju brzinu pri ravnomjernom kretanju: $v = \frac{s}{t}$.

   • Jednačina: [ v = \frac{s}{t}. ] (Obrazloženje: prosječna brzina jednaka je ukupnom putu podijeljenom ukupnim vremenom putovanja.)

2. Algebarske manipulacije

   • Izolacija brzine je već data: $v = \frac{s}{t}$.

3. Uvrštavanje numeričkih vrijednosti (koristi SI iz sekcije iznad) [ v = \frac{1.30\times 10^5,\mathrm{m}}{9900,\mathrm{s}} \approx 13.13,\mathrm{m/s}. ]

   • Konverzija u kilometre na sat: [ v_{\mathrm{km/h}} = v \cdot 3.6 \approx 47.3,\mathrm{km/h}. ]

4. Provjera dimenzija (jedinica)

   • Rezultat $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ daje $\mathrm{m/s}$; množenjem sa $3{,}6$ dobija se $\mathrm{km/h}$. Jedinice su usklađene.

Odgovor

$ v = \frac{s}{t} \approx 13.13\,\mathrm{m/s} $ **Konačan odgovor (sa jedinicama i odgovarajućim značajnim ciframa):** Srednja brzina autobusa iznosi oko $13{,}1\,\mathrm{m/s}$ odnosno $47{,}3\,\mathrm{km/h}$.

Literatura

Ahmed Čolić i Bego Mehurić, Zadaci i ogledi za 1. razred tehničkih i srodnih škola, 2000., Behram‑begova medresa, Zadatak 2.3.